Hollanda’daki Radboud Üniversitesi’nde öğrenci olan Lisane Taams, doktora çalışması yapıyor. kendi sözleriyle “vektör demetlerinin modül yığınlarının motiflerini istifleme eğrileri üzerinde hesaplayın” gibi.
Bayan Taams, “Bunu düzgün bir şekilde söyleyebilmem bile iki yılımı aldı,” dedi. Ancak, diye ekledi, son zamanlarda daha somut bir düşünce üzerinde zaman harcadığı için, bu tür soyutlamalar aldığı zevki artırdı: bir karenin benzer dikdörtgenlere nasıl bölünebileceğini saymak.
Bu geometrik bulmacayı Mastodon sosyal ağındaki bir topluluk olan Mathstodon’da buldu. İngiltere’deki iki matematikçi, Christian Lawson-Perfect ve Colin Wright tarafından 2017 İlkbaharında oluşturulan Mathstodon’daki kayıtlı hesapların sayısı Eylül ayında yaklaşık 3.000’e ulaştı. O zamandan beri, Twitter çıkışıyla birlikte sayı yaklaşık 13.000’e yükseldi.
Bulmaca, Riverside’daki California Üniversitesi’nde matematiksel fizikçi olan John Carlos Baez tarafından Aralık ayında yayınlandı.
“Bir kareyi eşit oranlarda üç dikdörtgene bölmenin üç yolu vardır!” Baez yazdı.
Cevabı Wikipedia’dan ödünç aldığı üç resimle açıkladı:
Soldaki resimde, dikdörtgenler genişliklerinin üç katı uzunluğunda, diye açıkladı bir e-postada. Ortadaki görüntüde dikdörtgenler, genişliklerinin bir buçuk katı uzunluktadır. “Üçüncü çözüm daha aldatıcı,” dedi Dr. baez Dikdörtgenler “geniş olduklarından yaklaşık 1.75487 kat daha uzun, ancak bir dikdörtgen ters çevrildiği için kısa ve bodur” diye ekledi.
doktor Baez, 1.75487 sayısının matematikçilerin ilgisini çektiğini kaydetti. “Bu, ‘plastik oranın’ karesi,” dedi, “daha tanıdık olan ‘altın orana’ benzer pek çok özelliği olan bir sayı.”
Bu temeli attıktan sonra Dr. Mathstodon takipçilerini Baez: “Bir kareyi dört benzer dikdörtgene bölerseniz ne olur? Hangi oranlara sahip olabilirler?
Yemi ilk alanlardan biri, Delhi’deki Hindistan Teknoloji Enstitüsü’nde bilgisayar bilimcisi olan Rahul Narain’di. Biyografisinde “Harika olmadan önce Mastodon’daydım” diyor (Aralık 2017’de katıldı). “Ve şu anda tüm havalı insanların burada olması gerçeği biraz endişe verici.”
doktor Narain, başka birinin uygulayacağını umsa da, gizemi çözmek için sistematik bir stratejinin ana hatlarını çizdi. Cevabında dediği gibi Dr. Baez, “Şu anda gerçekten üzerinde çalışmam gereken başka şeyler var, daha fazla inek tarafından seçilmeyi göze alamam!” dedi.
11 çözüm olduğu ortaya çıktı – bir kareyi benzer oranlarda dört dikdörtgene bölmenin 11 yolu. Çözümler, Körfez Bölgesi’nde bağımsız bir yazılım geliştiricisi olan Ian Henderson ve tasarım sistemleri analisti olan ve Foster + Partners’ta mimarlar için yazılım geliştiren Bristol, İngiltere’den Daniel Piker’in önemli girdileriyle kademeli olarak birikti.
Ve diğer birçok insan da yardım etti, dedi Dr. baez “Bu yüzden eğlenceliydi.”
Bayan Taams, elle 11 çözüm buldu ve çok geçmeden birkaç hata yaptığını fark etti. Daha sonra bilgisayarın işi yapmasına izin vermeye karar verdi. Yazılım yazdı ve bazı görüntüler oluşturdu. Ancak ilerlemeyi çevrimiçi olarak kontrol ettiğinde, “Başkalarının zaten çok daha fazla fotoğrafı olduğunu gördüm” dedi Bayan Taams.
Geometrik animasyonlar yapmaktan keyif alan Bay Piker, 11 seçeneğin hepsini çizmişti:
Sorunun basitliği onu cezbetti. Bay Piker, “Daha önce hiç bakılmamış gibi görünen bu kadar basit bir şeyin olmasının harika olduğunu düşündüm,” dedi.
Ancak, “Matematik hızla benim anlayışımın ötesindeydi” diye ekledi.
Bayan Taams tarafından gönderilen kanıtları anlayabilmesine rağmen, bunları ortaya koyması onun için kolay olmayacaktı. Bilimsel bir dizgi dili olan LaTeX’te yazılmış teknik pasajlar içeren 11 bölümlük bir başlık yayınladı ve bu mütevazi geometri bulmacasının daha ciddi ve resmi matematikle bağlantılı olduğunu gösterdi.
Başka bir deyişle, uzun kenarların kısa kenarlara oranının sayılar kuramında önemli bir konu olan “cebirsel sayılar” olduğunun kanıtını sağladı.
“Bunun temeline inmeye yaklaştığımızı bile sanmıyorum,” dedi Dr. baez “Ama bu iyi bir hareket.”
Londra Birkbeck Üniversitesi’nden matematikçi Sarah Hart – matematik ve edebiyat arasındaki bağlantıları araştıran Once Upon a Prime adlı kitabı Nisan ayında çıktı – bu dikdörtgen rekonstrüksiyonunu “fantastik” ve “sevimli” olarak nitelendirdi. (Mathstodon takibine katılmamıştı.)
“Bir sorunu güzel yapan nedir?” dedi. “Bu zor bir soru.” Problemi tanımlaması basit ve oynaması kolay olduğunda Hart’a yardımcı olur – “basit örnekler anında ellerinizi kirletir.” Ve “nefis bir şekilde karmaşık ve zorlayıcı” hale geldiğinde.
doktor Hart ayrıca “en ilginç sorunların çoğunun bunun gibi kopyalardan geldiğini” belirtti.
Bayan Taams, hesaplayarak kanıtını buldu ve sonra bunun üzerinde daha fazla düşündü. Hesaplamaların bir dizi denklemle ortaya çıktığını söyledi. “Ve sonra ‘Oh, tüm denklemler bu mu? Evet mi hayır mı?’” Cevabın evet olduğunu sadece üç örneğe bakarak doğruladı. “Nedenini tartışmak biraz zor. Resimlere bakarsanız, onu bir nevi görürsünüz.”
(Daha resmi olarak, Bayan Taams, bir karenin benzer bir düzeltmesini gerçekleştirirken – yani onu benzer dikdörtgenlerden oluşan bir N sayısına bölerek – oranın en fazla N’nin cebirsel bir derece olduğunu kanıtladı.)
Çevrimiçi tartışma sonunda William Tutte ve işbirlikçilerinin 1930’larda elektrik devreleri teorisiyle ilgili benzer bir “kareyi alma” çalışmasına dönüştü.
Dr. E-posta yoluyla Baez. “Bunun gibi bir şey, dikdörtgen diseksiyon problemi için de geçerli, ancak henüz onu kullanmadık.”
Irvine, California Üniversitesi’nde bir bilgisayar bilimcisi olan David Eppstein, “giyotin bölme” teriminin, dikdörtgen parçaları bir kareden dikey veya yatay olarak yinelemeli olarak dilimleme sürecini tanımlamanın olağan yolu olduğu yorumunu yaptı. Glasgow’daki Strathclyde Üniversitesi’nde bilgisayar bilimcisi olan Jules Hedges, Hollandalı soyut sanatçı Piet Mondrian’dan sonra ‘Mondrian’ın da bu süreç için uygun bir isim olabileceğini öne sürdü. Bu, Oxford Üniversitesi’nden bilgisayar bilimcisi Stefano Gogioso’nun “makine öğreniminde, Mondrian ağaçlarının/ormanlarının giyotin kesimleriyle gerçekleştirilen belirli bir sınıflandırma türünü belirtmek için kullanıldığını” belirtmesine yol açtı.
11 dört-yollu dikdörtgene geri dönelim: bu sonuç, biri Dr. Tüm Giyotin bölmelerini sıralayan ve test eden Narain ve daha karmaşık bir yaklaşım kullanan Bay Henderson tarafından bir tane.
Orada durmadılar.
“Soru aklıma geldi, ‘Oh, peki ya beş? Ya altı?’” dedi Bay Henderson.
Hem kendisi hem de Dr. Narain, iş bir kareyi beş benzer dikdörtgene bölmeye geldiğinde 51 çözüm buldu:
Bay Henderson, bir kareyi altı benzer dikdörtgene bölen 245 olası dikdörtgen oran ve yedi benzer dikdörtgen için 1.371 seçenek buldu. Başlangıçta sekiz dikdörtgenden vazgeçti – denedi ama program devam etti. Bir noktada hafızası tükendi.
“Sistemimden çıkardım,” dedi.
Ama sonra geri geldi ve hata ayıklamaya gitti ve sekiz dikdörtgenin kodunda bir sorun olduğunu gördü. Bay Henderson, e-postasında “Her halükarda, bu düzeltme gerçekten de her şeyin sonu,” dedi. “Sekiz dikdörtgen için (en azından koda göre) 8.506 farklı en boy oranı vardır.” Dokuzda deneyebilir.
Bayan Taams, “Bunu düzgün bir şekilde söyleyebilmem bile iki yılımı aldı,” dedi. Ancak, diye ekledi, son zamanlarda daha somut bir düşünce üzerinde zaman harcadığı için, bu tür soyutlamalar aldığı zevki artırdı: bir karenin benzer dikdörtgenlere nasıl bölünebileceğini saymak.
Bu geometrik bulmacayı Mastodon sosyal ağındaki bir topluluk olan Mathstodon’da buldu. İngiltere’deki iki matematikçi, Christian Lawson-Perfect ve Colin Wright tarafından 2017 İlkbaharında oluşturulan Mathstodon’daki kayıtlı hesapların sayısı Eylül ayında yaklaşık 3.000’e ulaştı. O zamandan beri, Twitter çıkışıyla birlikte sayı yaklaşık 13.000’e yükseldi.
Bulmaca, Riverside’daki California Üniversitesi’nde matematiksel fizikçi olan John Carlos Baez tarafından Aralık ayında yayınlandı.
“Bir kareyi eşit oranlarda üç dikdörtgene bölmenin üç yolu vardır!” Baez yazdı.
Cevabı Wikipedia’dan ödünç aldığı üç resimle açıkladı:
Soldaki resimde, dikdörtgenler genişliklerinin üç katı uzunluğunda, diye açıkladı bir e-postada. Ortadaki görüntüde dikdörtgenler, genişliklerinin bir buçuk katı uzunluktadır. “Üçüncü çözüm daha aldatıcı,” dedi Dr. baez Dikdörtgenler “geniş olduklarından yaklaşık 1.75487 kat daha uzun, ancak bir dikdörtgen ters çevrildiği için kısa ve bodur” diye ekledi.
doktor Baez, 1.75487 sayısının matematikçilerin ilgisini çektiğini kaydetti. “Bu, ‘plastik oranın’ karesi,” dedi, “daha tanıdık olan ‘altın orana’ benzer pek çok özelliği olan bir sayı.”
Bu temeli attıktan sonra Dr. Mathstodon takipçilerini Baez: “Bir kareyi dört benzer dikdörtgene bölerseniz ne olur? Hangi oranlara sahip olabilirler?
Yemi ilk alanlardan biri, Delhi’deki Hindistan Teknoloji Enstitüsü’nde bilgisayar bilimcisi olan Rahul Narain’di. Biyografisinde “Harika olmadan önce Mastodon’daydım” diyor (Aralık 2017’de katıldı). “Ve şu anda tüm havalı insanların burada olması gerçeği biraz endişe verici.”
doktor Narain, başka birinin uygulayacağını umsa da, gizemi çözmek için sistematik bir stratejinin ana hatlarını çizdi. Cevabında dediği gibi Dr. Baez, “Şu anda gerçekten üzerinde çalışmam gereken başka şeyler var, daha fazla inek tarafından seçilmeyi göze alamam!” dedi.
11 çözüm olduğu ortaya çıktı – bir kareyi benzer oranlarda dört dikdörtgene bölmenin 11 yolu. Çözümler, Körfez Bölgesi’nde bağımsız bir yazılım geliştiricisi olan Ian Henderson ve tasarım sistemleri analisti olan ve Foster + Partners’ta mimarlar için yazılım geliştiren Bristol, İngiltere’den Daniel Piker’in önemli girdileriyle kademeli olarak birikti.
Ve diğer birçok insan da yardım etti, dedi Dr. baez “Bu yüzden eğlenceliydi.”
Bayan Taams, elle 11 çözüm buldu ve çok geçmeden birkaç hata yaptığını fark etti. Daha sonra bilgisayarın işi yapmasına izin vermeye karar verdi. Yazılım yazdı ve bazı görüntüler oluşturdu. Ancak ilerlemeyi çevrimiçi olarak kontrol ettiğinde, “Başkalarının zaten çok daha fazla fotoğrafı olduğunu gördüm” dedi Bayan Taams.
Geometrik animasyonlar yapmaktan keyif alan Bay Piker, 11 seçeneğin hepsini çizmişti:
Sorunun basitliği onu cezbetti. Bay Piker, “Daha önce hiç bakılmamış gibi görünen bu kadar basit bir şeyin olmasının harika olduğunu düşündüm,” dedi.
Ancak, “Matematik hızla benim anlayışımın ötesindeydi” diye ekledi.
Bayan Taams tarafından gönderilen kanıtları anlayabilmesine rağmen, bunları ortaya koyması onun için kolay olmayacaktı. Bilimsel bir dizgi dili olan LaTeX’te yazılmış teknik pasajlar içeren 11 bölümlük bir başlık yayınladı ve bu mütevazi geometri bulmacasının daha ciddi ve resmi matematikle bağlantılı olduğunu gösterdi.
Başka bir deyişle, uzun kenarların kısa kenarlara oranının sayılar kuramında önemli bir konu olan “cebirsel sayılar” olduğunun kanıtını sağladı.
“Bunun temeline inmeye yaklaştığımızı bile sanmıyorum,” dedi Dr. baez “Ama bu iyi bir hareket.”
Londra Birkbeck Üniversitesi’nden matematikçi Sarah Hart – matematik ve edebiyat arasındaki bağlantıları araştıran Once Upon a Prime adlı kitabı Nisan ayında çıktı – bu dikdörtgen rekonstrüksiyonunu “fantastik” ve “sevimli” olarak nitelendirdi. (Mathstodon takibine katılmamıştı.)
“Bir sorunu güzel yapan nedir?” dedi. “Bu zor bir soru.” Problemi tanımlaması basit ve oynaması kolay olduğunda Hart’a yardımcı olur – “basit örnekler anında ellerinizi kirletir.” Ve “nefis bir şekilde karmaşık ve zorlayıcı” hale geldiğinde.
doktor Hart ayrıca “en ilginç sorunların çoğunun bunun gibi kopyalardan geldiğini” belirtti.
Bayan Taams, hesaplayarak kanıtını buldu ve sonra bunun üzerinde daha fazla düşündü. Hesaplamaların bir dizi denklemle ortaya çıktığını söyledi. “Ve sonra ‘Oh, tüm denklemler bu mu? Evet mi hayır mı?’” Cevabın evet olduğunu sadece üç örneğe bakarak doğruladı. “Nedenini tartışmak biraz zor. Resimlere bakarsanız, onu bir nevi görürsünüz.”
(Daha resmi olarak, Bayan Taams, bir karenin benzer bir düzeltmesini gerçekleştirirken – yani onu benzer dikdörtgenlerden oluşan bir N sayısına bölerek – oranın en fazla N’nin cebirsel bir derece olduğunu kanıtladı.)
Çevrimiçi tartışma sonunda William Tutte ve işbirlikçilerinin 1930’larda elektrik devreleri teorisiyle ilgili benzer bir “kareyi alma” çalışmasına dönüştü.
Dr. E-posta yoluyla Baez. “Bunun gibi bir şey, dikdörtgen diseksiyon problemi için de geçerli, ancak henüz onu kullanmadık.”
Irvine, California Üniversitesi’nde bir bilgisayar bilimcisi olan David Eppstein, “giyotin bölme” teriminin, dikdörtgen parçaları bir kareden dikey veya yatay olarak yinelemeli olarak dilimleme sürecini tanımlamanın olağan yolu olduğu yorumunu yaptı. Glasgow’daki Strathclyde Üniversitesi’nde bilgisayar bilimcisi olan Jules Hedges, Hollandalı soyut sanatçı Piet Mondrian’dan sonra ‘Mondrian’ın da bu süreç için uygun bir isim olabileceğini öne sürdü. Bu, Oxford Üniversitesi’nden bilgisayar bilimcisi Stefano Gogioso’nun “makine öğreniminde, Mondrian ağaçlarının/ormanlarının giyotin kesimleriyle gerçekleştirilen belirli bir sınıflandırma türünü belirtmek için kullanıldığını” belirtmesine yol açtı.
11 dört-yollu dikdörtgene geri dönelim: bu sonuç, biri Dr. Tüm Giyotin bölmelerini sıralayan ve test eden Narain ve daha karmaşık bir yaklaşım kullanan Bay Henderson tarafından bir tane.
Orada durmadılar.
“Soru aklıma geldi, ‘Oh, peki ya beş? Ya altı?’” dedi Bay Henderson.
Hem kendisi hem de Dr. Narain, iş bir kareyi beş benzer dikdörtgene bölmeye geldiğinde 51 çözüm buldu:
Bay Henderson, bir kareyi altı benzer dikdörtgene bölen 245 olası dikdörtgen oran ve yedi benzer dikdörtgen için 1.371 seçenek buldu. Başlangıçta sekiz dikdörtgenden vazgeçti – denedi ama program devam etti. Bir noktada hafızası tükendi.
“Sistemimden çıkardım,” dedi.
Ama sonra geri geldi ve hata ayıklamaya gitti ve sekiz dikdörtgenin kodunda bir sorun olduğunu gördü. Bay Henderson, e-postasında “Her halükarda, bu düzeltme gerçekten de her şeyin sonu,” dedi. “Sekiz dikdörtgen için (en azından koda göre) 8.506 farklı en boy oranı vardır.” Dokuzda deneyebilir.